Questões de Estatística do ano 2023

Sejam x₁, x₂,…, x₁₀₀ valores distintos observados de uma variável aleatória contínua X que tem distribuição unimodal, formando uma amostra de tamanho n = 100. Denote a média aritmética simples amostral por   e a moda da amostra por Mo(x), a qual é igual à metade de  . É necessariamente correto afirmar que: 

Sejam X, Y e T variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas que representam o tempo de execução, em dias, de três diferentes tipos de projetos pelo setor de estatística de uma repartição pública. Sabe-se que E(X) = 9, E(Y) = 12, E(T) = 15 e que todas as três variáveis têm desvio- -padrão igual a 3 dias. Considere que no próximo mês será feita a execução de um projeto de cada um dos três tipos. A probabilidade de que o tempo médio gasto na execução desses projetos seja superior a duas semanas é dada por:
(Dados:
P(Z ? -2) = 0, 977; P(Z ? - 2/?3) = 0, 876; P(Z ? -2/3) = 0, 747;
onde Z é uma variável aleatória com distribuição normal-padrão.)

Nos registros do sistema de determinado setor público, há denúncias oriundas somente de dois tipos de crime: uso de diplomas falsos e fraudes bancárias. Sabe-se que 65% das denúncias são referentes ao crime de uso de diplomas falsos. Adicionalmente, 80% das denúncias registradas no sistema foram julgadas. Considerando as denúncias que foram julgadas, 30% delas são referentes ao crime de fraudes bancárias. Se as denúncias registradas no sistema estão associadas a apenas um tipo de crime, qual a probabilidade de selecionar uma denúncia que seja referente ao crime de diplomas falsos e não tenha sido julgada?

Considere a realização de um experimento aleatório que consiste em fazer tentativas de Bernoulli, de modo que:
• As tentativas sejam independentes;
• Cada tentativa apresente apenas um de dois resultados possíveis (0: fracasso ou 1: sucesso);
• A probabilidade p de um sucesso em cada tentativa, 0 < p < 1, é constante;
• Y é a variável aleatória que conta o número de tentativas feitas até o primeiro sucesso; e,
• W é a variável aleatória que conta o número de tentativas feitas até o k-ésimo sucesso, sendo k um número natural maior que 1.
Sobre esse experimento, analise as afirmativas a seguir.

I. A variável aleatória Y possui a propriedade de perda de memória.
II. A variável aleatória W possui uma distribuição hipergeométrica.
III. O valor esperado de Y é E(Y) = 1/p .

Está correto o que se afirma em 

Para investigar se a população de determinado distrito ficou satisfeita com as medidas adotadas pela prefeitura foi conduzido um teste de hipóteses. As hipóteses nula e alternativa do teste são, respectivamente, H₀: p = 0,9 e H₁: p > 0,9, em que p é a proporção da população satisfeita com as medidas adotadas pela prefeitura. Com base em uma amostra de tamanho 400, a hipótese nula do teste será rejeitada se pelo menos 368 pessoas estiverem satisfeitas. Nesse contexto, qual o nível de significância aproximado do teste empregado?
Observação: ? (z) = P (Z ? z), onde Z ~ N (0,1).