Em relação a inquérito policial, ação penal e competência...

As contravenções penais JAMAIS serão julgadas pela Justiça Federal. A competência em relação a elas será SEMPRE da Justiça Estadual, mesmo havendo conexão com crime federal, segundo o art. 109, inciso IV da CF.

Pra reforçar, temos também a súmula 38 do STJ que diz: "Compete à Justiça Estadual Comum, na vigência da Constituição de 1988, o processo por contravenção penal, ainda que praticada em detrimento de bens, serviços ou interesse da União ou de suas entidades".  

OBs: nos casos em que o agente possui prerrogativa de função na justiça federal e ele praticar uma contravenção penal, por óbvio que a contravenção será julgada lá, mas neste caso estaríamos falando de competência por prerrogativa de função e não competência em razão da matéria, que é o que está sendo tratado na questão, em que o agente JAMAIS será julgado na justiça federal se praticar contravenção penal. 

a justiça federal só julgara contravenção nesta hipotese, se a mesma não tiver conexão com outro crime a jf não julgara, Renato Brasileiro, levanta uma possibilidade de a JF julgar contravenção isoladamente, no caso de o agente ter foro na justiça federal.