A frase em que se deveria usar a forma EU em lugar de MIM...

Mim nao conjuga verbo

a forma mais simples de gravar é que MIM nao pode ser o sujeito da oração,  causei até um paradoxo kkk

Ver filmes antigos é a maior diversão para mim.

MIM NÃO CONJUGA VERBO!!!!!!

Antes da PREPOSIÇÃO não se usam os Pronome Pessoais do caso Reto EU e TU (são usados como sujeito) e sim o Pronome Pessoais Oblico MIM e TI (são usados como complemento).

A forma correta é entre mim e ti. Entre tu e eu está errado. Sempre que se utiliza a preposição entre, devem ser usados pronomes pessoais do caso oblíquo. Assim, mim e ti estão corretos porque são pronomes pessoais oblíquos tônicos e eu e tu estão errados porque são pronomes pessoais retos.

Formas corretas:

entre mim e ti;

entre mim e você;

entre mim e ele;

entre mim e eles;

entre mim e ela;

entre mim e elas;

entre ti e ele;

entre ti e ela;

entre você e ele;

entre você e ela;

Os pronomes conosco e convosco devem ser substituídos por com nós e com vós, respectivamente, quando aparecem seguidos de palavras enfáticas como mesmos, próprios, todos, outros, ambos, ou de numeral:

O diretor implicou com nós dois.

Senhores deputados, quero falar com vós mesmos.

Fonte: Texeira, Nílson. Gramática para Concursos.