Dez pastas diferentes devem ser guardadas em duas caixas ...

De fato, note que temos 10 pastas distintas e queremos organizá-las en duas caixas distintas, de modo que, nenhuma delas fique fazia.

Assim, para cada pasta temos 2 opções: ou colocamos ela na caixa 1 ou na caixa 2 .

Logo, temos  2^10 = 1024 maneiras de alocarmos essas pastas.

Porém, nesse método de contagem, entra as vezes que a caixa 1 ou a caixa 2 ficaram vazias.

Então, temos que retira-lás.

Portanto, tem-se 1024- 2 = 1022.

Para 1 pasta na caixa 1 e 9 pastas na caixa 2:

10!/1!9!=10 possibilidades

Para 2 pastas na caixa 1 e 8 pastas na caixa 2:

10!/2!8!=45 possibilidades

Para 3 pastas na caixa 1 e 7 pastas na caixa 2:

10!/3!7!=120 possibilidades

Para 4 pastas na caixa 1 e 6 pastas na caixa 2:

10!/4!6!=210 possibilidades

Para 5 pastas na caixa 1 e 5 pastas na caixa 2:

10!/5!5!=252 possibilidades 

Perceba que 6 pastas na caixa 1 e 4 pastas na caixa 2 é o mesmo que 4 pastas na caixa 1 e 6 pastas na caixa 2, já que 10!/4!6!=10!/6!4!. O mesmo vale para os pares (7 e 3), (8 e 2) e (9 e 1). Portanto o número de possibilidades que existem é 2x10+2x45+2x120+2x210+252=20+90+240+420+252=1022 possibilidades